みなさんは偏差値とは何か説明できますか？
何となく理解をしているつもりでも誰かに説明が出来るという人は少ないのではないでしょうか。
ここではそんな偏差値について詳しくそして分かりやすく解説していきたいと思います。
まず偏差値は以下の式で求められます。
偏差値=(得点-平均点)÷標準偏差x10+50
ここで標準偏差というのがわかりにくいのですが、言葉で言い表すなら、「平均点からの距離の平均(厳密には違う)」であり、散らばり具合のことです。
以下の式で求められます。
標準偏差=｛(得点-平均点)の2乗 の総和÷ 人数｝の平方根
わざわざ2乗の平均を取って、その平方根を出す意味は、負の値を正の値に変換するためです。
例) 生徒5人がテストを受けて、点数はそれぞれ、50, 55, 65, 70, 80でした。 この場合、平均点は64で、標準偏差は10.677となります。 80点の生徒の偏差値は約65となります。
〈偏差値の特徴〉
上記の事から、平均点であれば偏差値は50になります。
さらに平均点付近の人数が多いので、偏差値40-60に収まる人は約68%、30-70に収まる人は95%となります。
〈余談 : 極端化して考える〉
受験人数が2人、点数がそれぞれ0点と100点だった場合、平均点は50点で標準偏差は50となります。
それぞれの偏差値は、
(0-50)÷50×10+50=40
(100-50)÷50×10+50=60
となり、40と60です。
標準偏差(散らばり具合)が大きくなると、大きい点数を取ってもそれほど偏差値は高くなく、小さい点数を取ってもそれほど小さくないことになります。
受験人数が100人、そのうち99人が0点で、1人が100点だったとすると、平均点は1、標準偏差は約9.95となり、100点だった受験者の偏差値は、
(100-1)÷9.95×10+50≒149.5
となり、100を超える結果になりました。
受験人数が100人、そのうち99人が100点で、1人が0点だった場合、平均点は99点、標準偏差は上記と同じく約9.95となり、0点だった受験者の偏差値は、
(0-99)÷9.95×10+50≒ −49.5
となり、0を下回ります。
このように散らばり具合が小さく、その上でその集団から大きくかけ離れた場合に、偏差値も50から大きくかけ離れた数値になります。
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